NUMEROS NATURALES

NÚMEROS NATURALES

Es cualquiera de los números que se usan para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.Por ejemplo, para contar los habitantes de un país. 

El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo N, y se escribe N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,..}. Este es un conjunto infinito porque, dado un numero natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.

ORDEN EN N

Los números naturales sirven para contar y ordenar los elementos de un conjunto. por ejemplo en una carrera de formula 1, no solamente es necesario  conocer cuantos carros terminan la carrera; también es importante saber el orden en que llegan a la meta.  

 

El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cual es el menor y cual es el mayor. cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: 

·                  a es mayor que b. esta relación se escribe a>b

·                  a   es menor que b. esta relación se escribe a<b

·                  a   es igual a b. esta relación se escribe a=b

         OPERACIONES EN N

 

                                     SUMA DE NÚMEROS NATURALES

En toda suma de números hay varios elementos: los números que se van a sumar llamados sumandos y el resultado de la operación llamado suma.

Ejemplo :              20 + 56 + 9 = 85 

En cualquier suma se verifica que: sumando desconocido = suma – sumando conocido

Ejemplos  

  57 +  ? = 73

     ? = 73 – 57

    ? = 16

   12 + 25 + ? = 84

  37 + ? = 84

    ? = 84 – 37    ? = 47        

                                                                  a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1.Interna: a + b=C

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

3.Conmutativa: a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4. Elemento neutro: a + 0 = a

3 + 0 = 3

                                     RESTA DE NÚMEROS NATURALES

En toda resta de números hay tres elementos: el número del que vamos a restar llamado minuendo, el número que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operación llamado resta o diferencia.

Ejemplo :     9 – 6 = 3

En cualquier resta se verifica que:  minuendo = sustraendo + diferencia sustraendo = minuendo + diferencia

Ejemplos :    ? – 8 = 47    ? = 47 + 8    ? = 55

  37 - ? = 29    ? = 37 – 29    ? = 8

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la Resta

1. No es una operación interna

2 − 5 =-3 NO PERTENECE A LOS NATURALES  

2. No es Conmutativa

5 − 2 ≠ 2 − 5

PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES

En toda multiplicación de números hay tres elementos:  los números que multiplicamos llamados factores y el resultado de la multiplicación llamado producto.

                                         Ejemplo :       9 · 3 = 27 

 En cualquier multiplicación se verifica que: factor desconocido = producto : factor conocido

                             Ejemplos :  7 · ? = 84    ? = 84 : 7    ? = 12 

  3 · 4 · ? = 72    12 · ? = 72    ? = 72 : 12    ? = 6

Hay algunas frases que tienen un significado especial:

Doble  multiplicar por  2

Triple  multiplicar por 3

Cuádruple  multiplicar por 4                  

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la Multiplicación

1. Interna: a · b =C

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

3. Conmutativa: a · b = b · a

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

4. Elemento neutro: a · 1 = a

3 · 1 = 3

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

    16 = 16                                                               

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

En toda división de números hay cuatro elementos: el número que vamos a dividir llamado dividendo, el número entre el que dividimos llamado divisor, el resultado de la división llamado cociente y lo que sobra después de dividir llamado resto.

Ejemplo :  dividendo    25   7  ß  divisor

         resto      4   3  ß  cociente 

:  En la división del ejemplo anterior se cumple que 7 · 3 + 4 = 25  y  4 < 7

Hay algunas frases que tienen un significado especial:

•        mitad  dividir entre 2
•        tercera parte  dividir entre 3
•        cuarta parte  dividir entre 4
•        quinta parte  dividir entre 5

Ejemplos:

   La mitad de 8    8 : 2 = 4; La cuarta parte de 28    28 : 4 = 7 

D : d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la División

1.División exacta 

          15/3 = 5 · 3

2. División entera

            17/5 = 5 · 3 + 2

3.No es Conmutativo.

6 : 2 ≠ 2 : 6

4. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

5. No se puede dividir por 0.

OPERACIONES COMBINADAS      CON NÚMEROS NATURALES

Cuando en una misma expresión hay sumas, restas, productos y divisiones el orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente:       

                        

1º  Operaciones dentro de los paréntesis

2º  Productos y divisiones

3º  Sumas y restas

4º  Si las operaciones tienen la misma jerarquía se empiezan por la izquierda.

Ejemplos : 

  5 + 2 · 3 = 5 + 6 = 11      ( 5 + 2 ) · 3 = 7 · 3 = 21        ( 12 – 2 ) : ( 7 – 5) = 10 : 2 = 5

NÚMEROS  ENTEROS

Los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero).

Tampoco podemos obviar el hecho de que los números enteros nos sirven igualmente para establecer la altura de un monumento o de un elemento natural. Así, por ejemplo, podemos hablar de que el Mulhacén es el pico más alto que existe en la Península Ibérica pues está situado a 3.478 metros sobre el nivel del mar mientras que el Teide es el más alto de España al conseguir alcanzar los 3.718 metro

Los números enteros negativos tienen diversas aplicaciones prácticas. Con ellos se puede señalar una temperatura bajo cero (“En estos momentos, la temperatura en Bariloche es de -10º”) o una profundidad bajo el nivel del mar (“El barco hundido fue hallado a -135 metros”).

Es importante tener en cuenta que los números enteros son el resultado de las operaciones más básicas (suma y resta), por lo que su utilización se remonta a la antigüedad. Los matemáticos hindúes del siglo VI ya postulaban la existencia de números negativos.

Propiedades de los Números Enteros

1. Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto)
2. 
   
3. Número mayor: Que supera en cantidad a otro.
4. Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.
5. El número siguiente a otro, es el número considerado más una unidad , por ejemplo 6 = 5 + 1.
6. El número anterior a otro, es el número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 – 1.
7. Recta numérica. es la que esta dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una división y la siguiente es siempre la unidad (1).

EJERCICIOS  1 y 2

1. Escribe los números que faltan en la recta numérica.

2. Observa la recta. Luego responde.

• ¿Sobre qué número está el conejo?
• ¿Sobre qué número está el gato? 
• ¿Qué número está a la izquierda de la tortuga?
• ¿Qué números están entre el conejo y el gato?
• ¿Qué números están entre la tortuga y el conejo?

ECUACIONES DE NÚMEROS

 NATURALES Y ENTEROS 

Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, los cuales se denominan miembros de la ecuación. En ellas aparecen números y letras (incógnita) relacionadas mediante una operación matemática.

Toda ecuación tiene siempre un resultado que pertenece  a un determinado conjunto numérico.

Debido a esto, es necesario determinar el universo en que se resolverá la ecuación; es decir, precisar si el conjunto numérico a que pertenece la ecuación es el de los  Números Naturales, Números Enteros, Números Racionales o Números Reales.

Si la ecuación no especifica a qué conjunto pertenece, se da por sobreentendido que es en los Números Reales.

Recuerda que:

Conjunto de Números Naturales (N):

Conjunto de Números Enteros (Z):